equação de Dirac e categorias de Graceli.




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T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

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A teoria quântica, como criada nos anos 20 por Erwin Schrödinger e Werner Heisenberg, não era compatível com a Relatividade apresentada por Einstein desde 1905. A famosa equação de Schrödinger só se aplica a partículas com velocidades baixas comparadas com a velocidade da luz. Essa é uma grande limitação, pois os elétrons nos átomos e nos núcleos certamente não se conforma com essa restrição.

Em 1928, o inglês Paul Adrien Maurice Dirac, então com 26 anos, conseguiu com sucesso unir a teoria quântica à relatividade especial. Outros já tinham feito alguma coisa com esse objetivo mas o trabalho de Dirac foi definitivo e é considerado um dos feitos mais importantes da Física do século passado.Nesse trabalho, Dirac apresentou uma equação que substitui a equação de Schrödinger nos casos em que a partícula tem qualquer velocidade. Ela serve principalmente para descrever um elétron na presença de um campo eletromagnético. Sua forma é a seguinte:

Antes de Dirac apresentar sua equação outros físicos já haviam tentado juntar a relatividade `mecânica quântica. Entre eles, O. Klein e W. Gordon chegaram a uma equação onde simplesmente substituiam a energia total de uma partícula livre (E = p2/2m,) pelo equivalente relativístico (E2 = p2c2 + m2c4). O truque de Dirac foi fatorar a expressão relativística da energia antes de substituir pelos operadores correspondentes.O resultado disso foi que a função de onda  surge como um "quadrivetor", ou "spinor", na gíria mais moderna. Dessa forma, o elétron descrito por essa função de onda surge, naturalmente, com spin e tudo que tem direito, enquanto na formulação de Klein-Gordon o spin tem de ser acrescentado artificialmente. Tudo bem, só que a equação passa a admitir duas soluções, ambas igualmente legítimas do ponto de vista matemático: em uma delas a energia da partícula é positiva e na outra é negativa. Partículas com energia negativa é um osso duro de roer. Lembre que, como massa e energia são, relativisticamente falando, a mesma coisa, a solução de Dirac prevê a existência de partículas com massa negativa. Uma partícula dessas seria interessante, se aparecesse em algum laboratório. Se você empurrá-la para a frente ela acelera para trás. Se soltá-la perto da superfície da Terra, mesmo no vácuo, ela sobe, em vez de cair. Como nunca ninguém viu nada parecido com isso, Dirac teve de inventar uma elaborada explicação que incorporava um hipotético "mar de partículas energia negativa" preenchendo todo o espaço. Segundo essa curiosa elocubração, cada centímetro cúbico do espaço conteria um número infinito de partículas com energia negativa. Como o número de partículas nesse "mar negativo" seria infinito, nele todos os níveis de energia estariam ocupados. Um elétron "normal", de massa positiva e carga negativa, não poderia penetrar no "mar" pois o Princípio da Exclusão de Pauli não deixa dois elétrons ocuparem o mesmo nível.

Já o processo inverso seria permitido: se um elétron de massa negativa recebesse energia suficiente, poderia "saltar" para fora do mar negativo e surgir no mundo "real", de energia positiva onde os níveis estariam desocupados. Aqui no "mundo real" ele seria um elétron normal, de carga negativa e massa positiva. No entanto, sobraria um "buraco" no mar negativo, onde antes estava o elétron. Um buraco em um mar de massas negativas, para todos os efeitos, se comporta como uma partícula de massa positiva. Portanto, ao mesmo tempo em que surgia um novo elétron no "mundo real", surgiria uma nova partícula (o buraco), com massa e carga positivas.

Inicialmente, Dirac chegou a pensar que esse "buraco" positivo poderia ser o próton. Mas, essa não era uma boa aposta já que o próton tem massa quase 2000 vezes maior que o elétron. O problema começou a ser resolvido poucos anos depois, quando uma nova partícula foi descoberta com a mesma massa do elétron e com o mesmo valor da carga, só que positiva. É o que veremos a seguir.

equação de Dirac com a matriz categorial de Graceli.

Matriz categorial de Graceli.

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Tipos, níveis, potenciais, tempo de ação [categorias de Graceli], temperatura, eletricidade, magnetismo, radioatividade, luminescências, dinâmicas, estruturas, fenômenos, transições de fenômenos e estados físicos, e estados de energias, dimensões fenomênicas de Graceli.

trans-intermecânica de TUNELAMENTO no sistema categorial de Graceli.

EPG = d [hc] [T / IEEpei [pit] = [pTEMRLD] and [fao] [itd] [iicee] tetdvd [pe] cee [caG].]

p it = potentials of interactions and transformations.
Temperature divided by isotopes and physical states and potential states of energies and isotopes = emissions, random wave fluxes, ion interactions, charges and energies structures, tunnels and entanglements, transformations and decays, vibrations and dilations, electrostatic potential, conductivities, entropies and enthalpies. categories and agents of Graceli.

h e = quantum index and speed of light.

[pTEMRlD] = THERMAL, ELECTRICAL, MAGNETIC, RADIOACTIVE, Luminescence, DYNAMIC POTENTIAL] ..


EPG = GRACELI POTENTIAL STATUS.

[pTFE] = POTENCIAL DE TRANSIÇÕES DE FASES DE ESTADOS FÍSICOS E DE ENERGIAS E FANÔMENOS [TRANSIÇÕES DE GRACELI]

, [pTEMRLD] [hc] [pI] [PF] [pIT][pTFE] [CG]..

 (i  g^m ¶_m - m c) F = 0

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Matéria (Partícula), Antimatéria (Antipartícula) e a Natureza Humana.  

Em 1927, por ocasião da Quinta Conferência de Solvay que aconteceu em Bruxelas, o físico inglês Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984; PNF, 1933) encontrou-se com o físico dinamarquês Niels Henrik David Bohr (1885-1962; PNF, 1922) que lhe perguntou em que estava trabalhando, Dirac então lhe respondeu que buscava uma teoria relativista do elétron. Bohr retrucou dizendo-lhe que o físico sueco Oskar Benjamin Klein (1894-1977), em 1926 (Zeitschrift für Physik 37, p. 895), já havia realizado essa teoria. Dirac não concordou com essa afirmação, pois sabia que Klein fizera apenas uma versão relativística da Equação de Schrödinger, de 1926 (ver verbete nesta série). Dirac, contudo, buscava outro caminho e que foi encontrado por ele, em 1928 (Proceedings of the Royal Society A117; A118, p. 610; 351), deduzindo a hoje famosa Equação de Dirac (ED) - (i  g^m ¶_m - m c) F = 0 -, onde g^m é a matriz de Dirac (matriz 4 ´ 4), ¶_m  = ¶/¶x^m (m = 1, 2, 3, 4), F é o spinor de Dirac (matriz coluna), m é a massa do elétron, e c é a velocidade da luz no vácuo. Mais tarde, em 1930 (Proceedings ofthe Cambridge Philosophical Society 26, p. 361), Dirac considerou que o m que aparece em sua equação, era uma média entre a massa do próton e a massa do elétron. É interessante destacar que, em 1974, Dirac escreveu o livro denominado Spinors in Hilbert Space(Plenum), no qual ele estuda os spinores com o formalismo do Espaço de Hilbert. 

                   Um resultado importante da ED foi o conceito de antimatéria. Vejamos como isso aconteceu. Ao resolver essa equação (baseada na expressão relativista da energia: E² = p²c² + m²c⁴), Dirac encontrou que ela não só descrevia o elétron com momento p e energia positiva (E > 0), mas tinha outra solução que descrevia partículas idênticas a elétrons, porém com carga positiva e energia negativa (E < 0). Ele chamou essas partículas de “buracos” e afirmou que eles ocupavam todos os estados de energia negativa, o famoso “mar de Dirac”. Nessa época, Dirac não havia entendido bem essa outra solução. Assim, esse “buraco” foi interpretado como sendo um próton, em 1929 (Zeitschrift für Physik 56, p. 330), pelo matemático alemão Hermann Weyl (1885-1955) e, ainda em 1929 (Proceedings of the Royal Society of London A126, p. 360) e em 1930 (Nature 126, p. 605), pelo próprio Dirac. Essa interpretação decorria do fato de que, naquela época, só se conheciam dois tipos de partículas elementares: elétrons e prótons. Por sua vez, o núcleo atômico era considerado formado de prótons e elétrons. Porém, Dirac não ficou muito satisfeito com essa proposta, uma vez que já se sabia que os prótons tinham massa cerca de 1.840 vezes maior do que à dos elétrons.

                   Ainda em 1930, em trabalhos independentes, os físicos, o norte-americano Julius Robert Oppenheimer (1904-1967) (Physical Review 35, p. 562) e o russo Igor YevgenyevichTamm (1895-1971; PNF, 1958) (Zeitschrift für Physik 62, p. 545), mostraram que o “buraco” não poderia ser um próton, pois, desse modo, tornaria o átomo instável por causa do processo: próton + elétron  fótons. Em 1931 (Proceedings of the Royal Society of LondonA133, p. 60), Dirac aceitou a ideia de que o “buraco” seria uma nova espécie de partícula, até então desconhecida pelos físicos experimentais, a qual chamou de antielétron. Destaque-se que essa “nova partícula” foi descoberta pelo físico norte-americano Carl David Anderson (1905-1991; PNF, 1935), em 1932 (Proceedings of the Royal Society of London A41, p. 405; Science 76, p. 238), e que recebeu o nome de pósitron (). É interessante destacar que, em 1929, os físicos, o russo Dmitry Vladimirovich Skobeltzyn (1892-1992) (Zeitschrift für Physik54, p. 686) e, em 1930 (Nature 125, p. 636), o italiano Bruno Benedetti Rossi (1905-1994), encontraram evidências experimentais da existência do “buraco” previsto por Dirac. Note-se que esse trabalho de Rossi foi rejeitado pela primeira revista científica para a qual ele o enviou.

                   Em 1933 (Proceedings of the Royal Society of London A139, p. 699), os físicos, o inglês Patrick Maynard Stuart Blackett (1897-1974; PNF, 1948) e o italiano Giuseppe Pablo Stanislao Occhialini (1907-1993) realizaram uma experiência na qual confirmaram a existência do pósitron (). Essa experiência, realizada no Cavendish Laboratory, na Inglaterra, hoje conhecida como produção de pares (γ → e^- + e⁺), foi confirmada, ainda em 1933 (Zeitschrift für Physik 84, p. 144), pelo físico alemão Max Delbrück (1906-1981), ao estudar o espalhamento de fótons (γ) (E > 1,02 MeV) por campos eletrostáticos, como, por exemplo, o de um núcleo atômico que é carregado positivamente; esse processo é o conhecido espalhamento de Delbrück. É oportuno observar que, nesse tipo de espalhamento, a produção de pares é dita virtual, pois logo que o par é formado, ele desaparece produzindo um par de fótons (e^- + e⁺ → 2 γ), num processo conhecido como aniquilamento. Observe-se que a produção de 2 γ é uma decorrência da lei de conservação de energia-momento [Robert Martin Eisberg and Robert Resnick, Quantum Physics of Atoms,Molecules, Solids, Nuclei, and Particles (John Wiley and Sons, 1974)].

                O desenvolvimento da Eletrodinâmica Quântica (QED- “Quantum Electrodynamics”), que aconteceu nas décadas de 1930 e 1940 (ver verbetes nesta série), fez com que o conceito de antipartícula fosse incorporado na Física, principalmente devido ao famoso Teorema CPT. Vejamos o seu significado. Segundo vimos em verbete desta série, foi o químico e físico francês Pierre Curie (1859-1906; PNF, 1903) o primeiro a introduzir a importância da simetria no estudo dos fenômenos físicos, ao afirmar que: - São as assimetrias que possibilitam os fenômenos. Para ele, uma exata simetria da Natureza não poderia ser detectada, já que todos os pontos do Universo seriam indistinguíveis, e a probabilidade da realização de experiências seria a mesma. Por outro lado, ao fazer a distinção clara entre vetores polares (que apresentam a direção independente do sistema de coordenadas) e axiais ou pseudo-vetores (cuja direção depende do sistema de coordenadas), Pierre Curie percebeu a importância da Teoria de Grupos [inventada pelo matemático francês Évariste Galois (1811-1832), em 1831] no estudo dos fenômenos físicos. É oportuno esclarecer que, em Física, chama-se de simetria a toda transformação que leva um sistema físico em outro que lhe seja equivalente, decorrendo daí, uma invariância desse sistema. O conjunto de transformações de simetria forma um grupo. Para conhecer esse tipo de estrutura matemática, ver: José Maria Filardo Bassalo e Mauro Sérgio Dorsa Cattani, Teoria de Grupos (EDUFPA, 2005; Livraria da Física, 2008).      

                   A importância da simetria no estudo dos fenômenos físicos salientada por Pierre Curie teve um primeiro estudo formal com a matemática alemã Amalie Emmy Noether(1882-1935). Com efeito, em 1918 (Königlichi Gesellschaft der Wissenschaften zu GöttingenNachrichten, p. 37; 235), ela demonstrou que as constantes de movimento de um sistema físico, isto é, os seus invariantes, estão associadas com os grupos de simetria das transformações equivalentes. Por exemplo, quando o Lagrangeano (L) [a diferença entre as energias cinética (T) e potencial (V) (L = T – V)], que determina as equações de movimento de um sistema físico [traduzidas pela Equação de Euler (1744)-Lagrange (1760-1761)-Poisson (1809)], apresentar simetria de translação no tempo, na posição, e apresentar, também, simetria de rotação no espaço, decorrem, respectivamente, as Leis de Conservação da Energia, do Momento Linear e do Momento Angular, o que significa dizer, portanto, que essas grandezas físicas são invariantes.

                   Por sua vez, o estudo dos princípios de simetria e a aplicação da Teoria de Grupos aos sistemas de muitos-elétrons foi iniciado pelo físico húngaro norte-americano Eugene Paul Wigner (1902-1995; PNF, 1963), em 1926 (Zeitschrift für Physik 40, p. 492). Por outro lado, ao estudar as Leis de Conservação na Mecânica Quântica (traduzidas pelo Teorema de Noether, como vimos acima), Wigner observou, em 1927 (Zeitschrift für Physik 43, p. 624), que tais leis são associadas com a existência de operadores unitários P [operador paridade (reflexão)], de autovalores , que comutam com o operador Hamiltoniano H (H = T + V): PH = HP. Em 1931, no livro intitulado Gruppentheorie und ihre Anwendung auf dieQuantenmechanik der Atomspektern, Wigner propôs a Lei de Conservação da Paridade P, segundo a qual nenhuma experiência seria capaz de determinar, de maneira unívoca, adireita ou a esquerda. Logo depois, em 1932 (Akademie der Wissenschaften zu GöttingenNachrichten, Mathematisch-physikalische Klasse, p. 546), Wigner estudou a reflexão no tempo (t) – o operador inversão temporal (T) – nos fenômenos físicos, que significa trocar t por – t. Na década de 1950, a esses dois operadores (P e T) foi incorporado um terceiro – o operador troca de carga (C) – que significa trocar uma partícula (p.e.: ) por sua antipartícula ().

                   Agora, vejamos o Teorema CPT.  Os primeiros estudos sobre a invariância desses três operadores (C, P, T) em Teoria dos Campos foram realizados pelo físico norte-americano Julian Seymour Schwinger (1918-1994; PNF, 1965), em 1953 (Physical Review 91, p. 713; 728; 92, p. 1238). No ano seguinte, em 1954, Schwinger (Physical Review 93, p. 615; 94, p.1362) e, independentemente, o físico alemão Gerhart Lüders (1920-1995) (Det KöngeligeDanske Videnskabernes Selskab Matematisk-Fysiske Meddelanden 28, p. 1), mostraram que a invariância desses operadores atuando no mesmo instante, a invariância CPT, decorre da invariância de Lorentz em uma Teoria dos Campos. Em 1957 (Annals of Physics 2, p. 1), Lüders  demonstrou o Teorema CPT, segundo o qual os observáveis em Física  são invariantes por uma transformação combinada, em qualquer ordem, das operações C, P e T. Ainda segundo esse Teorema, toda partícula possui uma antipartícula (com carga elétrica de sinal contrário, se ela for carregada) associada de mesma massa (m), mesma vida-média (τ) e de mesmo momento magnético (μ) da partícula correspondente. Registre-se que a demonstração desse Teorema foi confirmada, ainda em 1957, em trabalhos independentes dos físicos, os sino-norte-americanos Tsung-Dao Lee (n.1926; PNF, 1957) e Chen Ning Yang (n.1922; PNF, 1957) e o germano-norte-americano Reinhard Oehme (1928-2010) (PhysicalReview 106, p. 340), e os russos Boris Lazarevich Ioffe (n.1926), Lev Borisovich Okun (n.1929) e Aleksei Petrovich Rudik (m.c.1993) (Soviet Physics – JETP 5, p. 328).     

                   Com a comprovação matemática da existência da antipartícula, começou a busca de outras além do pósitron (e⁺ = ). Em 1955 (Physical Review 100, p. 947), os físicos norte-americanos Emílio Gino Segré (1905-1989; PNF, PNF, 1959) (de origem italiana), Owen Chamberlain (1920-2006; PNF, 1959), Clyde E. Wiegand (1915-1996) e Thomas John Ypsilantis (1928-2000) anunciaram que haviam produzido os primeiros antiprótons () com o Bevatron do Laboratório Lawrence de Radiação da Universidade da Califórnia, em Berkeley, construído em 1953, e que acelerava prótons a uma energia de 6,2 BeV (1 BeV = 1 GeV = 10⁹eV). Para isso, eles bombardearam prótons () altamente energéticos em átomos de cobre (Cu), em uma reação nuclear que apresenta o seguinte aspecto: . Em 1956 (Nature 177, p. 11), Segré, Chamberlain, Wiegand e Ypsilantis sugeriram que o antinêutron () poderia ser obtido em uma reação do tipo: .

                   É oportuno registrar que, ainda em 1956 (Physical Review 104, p. 1193), os físicos norte-americanos Bruce Cork ( ? -1994), Glen R. Lambertson, William A. Wenzel e o físico italiano Oreste Piccioni (1915-2002) anunciaram que haviam produzido  ao estudarem a colisão de  com a matéria. Note-se que o  foi previsto, em 1935, pelo físico ítalo-russo Gleb Wataghin (1899-1986), quando estava no Brasil formando o grupo de Física da Universidade de São Paulo (USP), que havia sido criada em 1934. A partir daí, novas antipartículas foram descobertas, bem como algumas delas foram reconhecidas como antipartículas. Por exemplo, quando o físico ítalo-italiano Enrico Fermi (1951-1954; PNF, 1938) propôs, em 1934, a explicação do decaimento beta por intermédio de uma nova força na Natureza, a força fraca, no qual o nêutron (n) se transforma em um próton (p), com a emissão de um elétron (e^-) e de seu companheiro neutrino (ν) [este havia sido previsto pelo físico austríaco Wolfgang Pauli Junior (1900-1958; PNF, 1945), em 1930], ninguém percebeu que essa partícula (ν) era realmente uma antipartícula (hoje, ). Da mesma maneira, quando foram descobertos os então mésons mi (μ^+/-), em 1937, e os mésons pi (π^+/-), em 1947, e logo depois produzidos artificialmente por intermédio de aceleradores de partículas (vide verbete nesta série), em 1948 e 1949, também ninguém percebeu que =  e . Somente em 1953, os físicos norte-americanos Emil John Konopinski (1911-1990) e HormozMassou Mahmoud (n.1918) mostraram que em uma reação envolvendo partículas elementares, ela deve conservar um novo número quântico, o número leptônico (L) que vale (+1) para as partículas leptônicas (e^-, μ^-, ν) e (-1) para as antipartículas antileptônicas (e⁺, μ⁺, ), e nula (0) para as demais (ver verbete nesta série), como se pode ver, p.e., no decaimento nuclear: μ^- (μ⁺)  →  e^- (e⁺) + (). Também é interessante destacar que, por essa época (década de 1950), todas as partículas neutras eram previstas serem iguais às suas antipartículas (p.e.: ). Contudo, em 1964, foi observado que K⁰ , por causa da não conservação do operador CP. Hoje, a violação da CP é uma realidade física e, portanto, objeto de pesquisa ativa, segundo vimos em verbete desta série.

                   A previsão teórica e sua confirmação experimental da antipartícula (antimatéria) colocou uma questão fundamental: - Por que as antipartículas são apenas produzidas pelos processos físicos indicados acima e quase não existem normalmente da Natureza como as partículas?. Ou, colocada de outra maneira: - Por que existe uma assimetria matéria-antimatéria?  A resposta a essa pergunta foi apresentada pelo físico russo AndreyDmitriyevich Sakharov (1921-1989; PNPaz, 1975), em 1967 (Pis´ma Zhurnal Eksperimental´noi I Teoreticheskoi Fiziki 5, p. 32; JETP Letters 5, p. 24). Com efeito, segundo Sakharov, quando houve o Big Bang, há cerca de 13 bilhões de anos, deveria haver uma produção igual de partículas (bárions, p.e.: prótons e nêutrons) e de antipartículas (antibárions, p.e.: antiprótons e antinêutrons), por causa da invariância do operador CP e, pelo processo do aniquilamento entre matéria e antimatéria, produzindo fótons, o Universo deveria ser apenas um mar de fótons o que, no entanto, não é a realidade que vemos. Portanto, ainda para Sakharov, imediatamente ao Big-Bang, por um processo até agora desconhecido, houve uma quebra espontânea da simetria CP, sobrando muito mais matéria bariônica do que matéria antibariônica.

                   Destaque-se que a produção artificial de antipartículas é fundamental no funcionamento dos anéis de colisão (vide verbete nesta série) nos quais um feixe de elétrons (prótons) se choca com um feixe de pósitrons (antiprótons) (a orientação contrária desses feixes no anel decorre da força de Lorentz) para a produção de novas partículas, como aconteceu, por exemplo, com a descoberta da psi/jota (ψ/J), em 1974; do quark bottom (b), em 1977; das partículas mediadoras da interação fraca (W^+/-, Z⁰), em 1983; do quark top (t), em 1995; e na busca do bóson de Higgs (b_H), com evidências de sua existência anunciadas em 2012.